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二次方程根的判别式

题目背景：

给定二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，\(a \neq 0\)，请证明：

- 当 \(b^2 - 4ac > 0\) 时，方程有两个不相等的实数根；

- 当 \(b^2 - 4ac < 0\) 时，方程没有实数根；

- 当 \(b^2 - 4ac = 0\) 时，方程有一个实数根。

解题思路：

我们知道二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根可以通过韦达定理来计算，即设两根为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，则有：

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

根据韦达定理，我们可以得到：

\[ b^2 - 4ac = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]

代入韦达定理中的值，我们得到：

\[ b^2 - 4ac = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right) \]

简化得：

\[ b^2 - 4ac = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} \]

为了证明 \(b^2 - 4ac > 0\)、\(b^2 - 4ac < 0\) 或 \(b^2 - 4ac = 0\)，我们需要进一步分析上述表达式。

对于 \(b^2 - 4ac > 0\)，需要证明：

\[ \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} > 0 \]

\[ \Rightarrow b^2 - 2ca > 0 \]

因为 \(a > 0\)，所以只需证明：

\[ b^2 > 2ca \]

这表明，\(b^2 - 4ac > 0\)，那么原方程有两个不相等的实数根。

对于 \(b^2 - 4ac < 0\)，因为分子 \(b^2\) 是正数（因为 \(b^2 > 0\)），而分母 \(a^2\) 和 \(2c\) 都是非负的，因此整个表达式 \(b^2 - 4ac\) 必然小于零。

当 \(b^2 - 4ac = 0\) 时，原方程只有一个实数根，因为此时方程可以重写为：

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

通过配方或使用因式分解，可以找到唯一的一个实数根。

题目二：几何图形的面积计算

题目背景：

已知直角三角形 \(ABC\)，\(C = 90^\circ\)，斜边 \(AB = 13\) cm，直角边 \(BC = 5\) cm，要求计算这个三角形的面积以及两个直角边的长度。

解题思路：

根据勾股定理，可以找到 \(AC\) 的长度：

\[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]

我们已经知道三角形的面积和斜边长，可以用面积公式解出两个直角边的长度：

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

\[ \Rightarrow 13 \times 5 = \frac{1}{2} \times 12 \times AC \]

\[ AC = \frac{2 \times 65}{12} = \frac{130}{12} = 10.83 \text{ cm} \]

这里我们直接用勾股定理找到了 \(AC\) 的长度，\(AC\) 的实际长度是 12 cm。

直角三角形 \(ABC\) 的面积是：

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \text{ cm}^2 \]

最终答案是：三角形的面积是 30 平方厘米，两个直角边分别是 5 cm 和 12 cm。

这些题目涵盖了高中数学的多个重要方面，包括二次方程的判别式、几何图形的面积计算、以及基本的几何原理，掌握这些基础知识对后续学习非常重要，建议大家多加练习，不断提高自己的解题能力和数学素养。